First-order ordinary differential equations

基本概念

常微分方程的基本定义

现在我们给出对于常微分方程的最一般的定义:

定义(常微分方程): 对于联系一个函数自变量和这个函数以及它的$n$阶导数的方程, 形如:

$$F(x, y, y', y'', \cdots, y^{(n)}) = 0$$

我们称之为一个$n$阶常微分方程. 其中$x$是自变量, $y$是未知函数. $n$是一个正整数, 代表了这个方程的阶数. $F$是一个已知的函数.

若常微分方程中, 未知函数$y$和它的各阶导数都以一次幂的形式出现, 则称这个方程是线性的. 否则, 就是非线性的.

例如: $y' + p(x)y = q(x)$是一个一阶线性常微分方程.

定义(常微分方程的解): 如果一个函数$y = \phi(x)$在区间$J$上满足常微分方程, 那么我们称这个函数是这个常微分方程在区间$J$上的一个解.

定义(常微分方程的通解): 如果一个函数$y = \phi(x, C_1, C_2, \cdots, C_n)$包含了$n$个任意常数$C_1, C_2, \cdots, C_n$, 并且当我们将这个函数代入常微分方程时, 方程恒成立. 那么我们称这个函数是这个常微分方程的一个通解.

定义(常微分方程的特解): 如果一个函数$y = \phi(x)$是常微分方程的一个解, 并且这个函数中不包含任何任意常数, 那么我们称这个函数是这个常微分方程的一个特解.

为了从通解得到符合具体图景的特解, 我们需要引入初值的概念.

定义(常微分方程的初值): 对于一个$n$阶常微分方程, 如果我们给定了一个点$x_0$以及未知函数$y$在这个点的值$y(x_0) = y_0$, 以及未知函数$y$在这个点的各阶导数的值$y'(x_0) = y_1, y''(x_0) = y_2, \cdots, y^{(n-1)}(x_0) = y_{n-1}$, 那么我们称这个集合$(x_0, y_0, y_1, \cdots, y_{n-1})$是这个常微分方程的一个初值.

微分方程及其解的几何解释

为了简化, 我们先考虑一阶微分方程:

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

假设$y = \phi(x)$是这个微分方程的一个解, 那么在坐标平面上, 这个解就表示为一条曲线, 我们称这条曲线为微分方程的积分曲线.

代入方程的解, 我们可以得到:

$$\frac{d\phi}{dx} = \phi '(x) = f(x, \phi(x))$$

因此我们可以知道积分曲线在$P_0(x_0, y_0)$点的切线斜率是$f(x_0, y_0)$. 切线方程可以写成:

$$y - y_0 = f(x_0, y_0)(x - x_0)$$

这样, 在区域$D$内的每一个点$P(x, y)$, 都有一个对应的切线斜率$f(x, y)$. 这就形成了一个方向场. 方向场可以帮助我们理解微分方程的解的行为. 例如, 如果在某个区域内, 方向场的斜率都很大, 那么这个区域内的积分曲线可能会非常陡峭. 反之, 如果在某个区域内, 方向场的斜率都很小, 那么这个区域内的积分曲线可能会比较平缓. 通过分析方向场, 我们可以获得关于微分方程解的定性信息, 例如解的稳定性, 周期性等性质.

我们可以通过方向场近似的画出微分方程的积分曲线. 例如, 如果我们知道在某个点$P(x, y)$的方向场斜率是$f(x, y)$, 那么我们可以在这个点画出一条小线段, 称为线素, 这条线段的斜率就是$f(x, y)$. 通过在区域内的多个点上画出这样的线段, 我们就可以得到一个近似的积分曲线的图像. 这种方法被称为方向场法.

当然在构造方向场的时候, 我们也不必逐点地计算斜率. 我们可以固定一些斜率值, 然后求出$f(x, y)=k$对应的曲线, 这些曲线被称为等斜率线. 通过画出这些等斜率线, 我们就可以得到一个更清晰的方向场图像, 从而更好地理解微分方程的解的行为.

初等积分法

本章节的内容是最基本的求解常微分方程的方法.

恰当方程

考虑形式对称的一阶微分方程:

$$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$$

如果存在一个可微函数$f(x,y)$使得:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = P(x,y), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = Q(x,y)$$

则称该方程是恰当的，并且$f(x,y) = C$是该方程的通解, 也叫做通积分.

但是我们在正式学习如何求解恰当方程之前, 我们需要解决三个问题:

• 如何判断一个给定的微分方程是否是恰当的?
• 当它是恰当方程时, 如何求出全微分的原函数?
• 当它不是恰当方程时, 如何将其转化为恰当方程?

定理: 如果$P(x,y)$和$Q(x,y)$在某个单连通区域内具有连续的偏导数, 则方程$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$是恰当的当且仅当:

$$\frac{\partial}{\partial y} P(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} Q(x,y)$$

且这个方程的通积分(即原函数 $f(x,y)=C$) 可以通过折线积分求得 (取区域内某一固定点 $(x_0, y_0)$):

先沿水平方向积分，再沿垂直方向积分:

$$f(x,y) = \int_{x_0}^{x} P(x, y_0)dx + \int_{y_0}^{y} Q(x, y)dy$$

或者先沿垂直方向积分，再沿水平方向积分这另一种等价形式:

$$f(x,y) = \int_{x_0}^{x} P(x, y)dx + \int_{y_0}^{y} Q(x_0, y)dy$$

这个定理实质上回答了问题1和问题2. 证明此略. 至于问题3, 这将是伴随并贯穿本章全部内容的问题, 我们将在后续的章节中逐步解决.

变量分离方程

变量分离方程是指可以通过简单的代数变换将形如:

$$P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$$

的方程转化为如下的形式的方程:

$$X(x) Y_1(y) dx + X_1(x) Y(y) dy = 0$$

倘若我们能够将方程转化为上述形式, 则我们可以通过除以 $X_1(x) Y_1(y)$ 来得到一个恰当方程, 从而求解出通积分. 那么解将会是:

$$\int \frac{X(x)}{X_1(x)} dx + \int \frac{Y(y)}{Y_1(y)} dy = C$$

注释: 然而我们需要额外关注$X_1(x) Y_1(y)$的符号, 因为如果存在$x=x_0$和$y=y_0$使得$X_1(x_0)=0$, 或者$Y_1(y_0) = 0$, 显然$x=x_0$或者$y=y_0$都是方程的解, 但是它们不满足上面的通积分, 因此我们需要将它们单独列出来.

这是最简单的一种求解常微分方程的方法, 但是它的适用范围非常有限, 因此我们需要更一般的方法来求解常微分方程.

一阶线性方程

一阶线性方程的通式为:

$$\frac{dy}{dx} +p(x) y = q(x)$$

当$q(x)=0$时, 方程称为齐次线性方程; 当$q(x)\neq 0$时, 方程称为非齐次线性方程.

齐次线性方程

我们首先讨论齐次线性方程, 其通式为:

$$\frac{dy}{dx} +p(x) y = 0$$

我们直接可以得到它的通积分为:

$$y = C e^{-\int p(x) dx}$$

当然我们在上面假设$y\neq 0$, 从而分离变量. 当$y=0$时, 显然它也是方程的解, 因此我们需要将它单独列出来.

非齐次线性方程

我们首先把通式改写成对称形式:

$$dy + p(x) y dx = q(x) dx$$

我们可以看到这个方程本身不是一个恰当方程, 但是我们可以同乘一个$e$的幂指数来使其成为一个恰当方程. 具体来说, 我们同乘$e^{\int p(x) dx}$, 从而得到:

$$e^{\int p(x) dx} dy + e^{\int p(x) dx} p(x) y dx = e^{\int p(x) dx} q(x) dx$$

我们可以把它写成全微分的形式:

$$d\left( e^{\int p(x) dx} y \right) = e^{\int p(x) dx} q(x) dx = d\left( \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx \right)$$

因此我们可以得到它的通积分为:

$$e^{\int p(x) dx} y = \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx + C$$

进而得到通解:

$$y = e^{-\int p(x) dx} \left( \int e^{\int p(x) dx} q(x) dx + C \right)$$