Line and surface integrals, and field theory

MATH1204 19 min read

曲线积分

对于空间中曲线长度问题, 设曲线LL可以用参数方程表示为:

L:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)t∈[a,b]L: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \quad t \in [a,b]

其中x(t),y(t),z(t)x(t), y(t), z(t)在[a,b][a,b]上连续可导. 将[a,b][a,b]划分为nn个小区间[ti−1,ti][t_{i-1}, t_i], 在每一小段上取对应的曲线弧长为Δsi \Delta s_i. 当划分加细时, 曲线LL的长度定义为:

S=lim⁡λ→0∑i=1nΔsiS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \Delta s_i

其中λ=max⁡{ti−ti−1}\lambda = \max\{t_i - t_{i-1}\}. 由弧长公式可知:

S=∫ab(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2 dtS = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt

因此我们记弧长微元为:

ds=(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2 dtds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt

第一类曲线积分

设LL是R3R^3中的一条光滑曲线, 则对于一个定义在LL上的函数ff, 我们可以定义曲线积分:

∫Lf(x,y,z)ds=lim⁡λ→0∑i=1nf(Pi)Δsi\int_L f(x,y,z) ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(P_i) \Delta s_i

其中λ=max⁡{diam(ΔLi):i=1,2,⋯ ,n}\lambda = \max \{\text{diam}(\Delta L_i) : i=1,2,\cdots,n\}, Δsi\Delta s_i是曲线LL上小段ΔLi\Delta L_i的长度, PiP_i是小段ΔLi\Delta L_i上的一个点.

其中f(x,y,z)f(x,y,z)可以理解为曲线LL上每个点的密度函数, 因此曲线积分可以理解为沿着曲线LL的一个质量.

f(x,y,z)f(x,y,z)被称作被积函数. LL被称作积分路径.

同二重积分一样的, 曲线积分一样具有线性性, 路径可加性等性质.

下面介绍如何计算第一类曲线积分:

定理: 设LL是光滑曲线, 函数f(x,y,z)f(x,y,z)在LL上连续. 且L可以写作:

L:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)t∈[a,b]L: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \quad t \in [a,b]

则有:

∫Lf(x,y,z)ds=∫abf(x(t),y(t),z(t))(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2dt\int_L f(x,y,z) ds = \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} dt

这里很显然, 因为LL连续, 那么有:

Δsi=∫ti−1ti(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2dt\Delta s_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} dt

取PiP_i为ΔLi\Delta L_i上对应的点, 则有:

f(Pi)Δsi=f(x(ti),y(ti),z(ti))∫ti−1ti(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2dtf(P_i) \Delta s_i = f(x(t_i), y(t_i), z(t_i)) \int_{t_{i-1}}^{t_i} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} dt

因此当λ→0\lambda \to 0时, 上式的求和就变成了定积分, 从而得到了上述的结果.

性质:

  • 线性性质: 设函数ff和gg在曲线LL上连续, 则对于任意常数aa和bb, 函数af+bgaf + bg在曲线LL上也连续, 且有:
∫L(af+bg)ds=a∫Lfds+b∫Lgds\int_L (af + bg) ds = a \int_L f ds + b \int_L g ds
  • 路径可加性: 设L1L_1和L2L_2是曲线LL的两条子曲线, 且L1∩L2=∅,L=L1∪L2L_1 \cap L_2 = \emptyset, \quad L = L_1 \cup L_2, 则对于任意函数ff在曲线LL上连续, 都有:
∫Lfds=∫L1fds+∫L2fds\int_L f ds = \int_{L_1} f ds + \int_{L_2} f ds

第二类曲线积分

第二类曲线积分在物理意义上可以理解为沿着曲线LL, 力F⃗\vec{F}对位移r⃗\vec{r}做的功.

设LL是R3R^3中的一条光滑曲线, 则对于一个定义在LL上的向量函数F⃗=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec{F} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 我们可以定义第二类曲线积分:

∫LF⃗⋅dr⃗=lim⁡λ→0∑i=1nF⃗(Pi)⋅Δr⃗i\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \vec{F}(P_i) \cdot \Delta \vec{r}_i

我们记在(x,y,z)(x,y,z)点处的切向量为r⃗′(t)=(x′(t),y′(t),z′(t))\vec{r}'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)), 则有:

dr⃗=r⃗′(t)dtd\vec{r} = \vec{r}'(t) dt

定理: 设LL是光滑曲线, 向量函数F⃗=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec{F} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))在LL上连续. 且L可以写作:

L:{x=x(t)=cos⁡αy=y(t)=cos⁡βz=z(t)=cos⁡γt∈[a,b]L: \begin{cases} x = x(t) = \cos \alpha \\ y = y(t) = \cos \beta \\ z = z(t) = \cos \gamma \end{cases} \quad t \in [a,b]

其中单位切向量可以写作:

T⃗=r⃗′(t)∥r⃗′(t)∥=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\vec{T} = \frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)

则有:

∫LF⃗⋅dr⃗=∫ab[P(x,y,z)cos⁡α+Q(x,y,z)cos⁡β+R(x,y,z)cos⁡γ]ds\int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b [P(x, y, z) \cos \alpha + Q(x, y, z) \cos \beta + R(x, y, z) \cos \gamma] ds

我们必须强制给LL一个方向, 否则这个积分将无法定义. 这是积分的要求.

第二类曲线积分具有一系列性质:

  • 方向性: 记−L-L为曲线LL的反向, 则有:
∫−LF⃗⋅dr⃗=−∫LF⃗⋅dr⃗\int_{-L} \vec{F} \cdot d\vec{r} = - \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r}
  • 线性性质: 设向量函数F⃗\vec{F}和G⃗\vec{G}在曲线LL上连续, 则对于任意常数aa和bb, 向量函数aF⃗+bG⃗a\vec{F} + b\vec{G}在曲线LL上也连续, 且有:
∫L(aF⃗+bG⃗)⋅dr⃗=a∫LF⃗⋅dr⃗+b∫LG⃗⋅dr⃗\int_L (a\vec{F} + b\vec{G}) \cdot d\vec{r} = a \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} + b \int_L \vec{G} \cdot d\vec{r}

第二类曲线积分的具体计算方法如下:

设光滑曲线LL可以用参数方程表示为:

x=x(t),y=y(t),z=z(t)x = x(t), \quad y = y(t), \quad z = z(t)

这里t:a→bt: a \to b足够表征曲线的方向. 我们就采用aa到bb的方向, 且a<ba < b. 则单位切向量可以写作:

τ⃗=r⃗′(t)∥r⃗′(t)∥=1x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)(x′(t),y′(t),z′(t))=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\vec{\tau} = \frac{\vec{r}'(t)}{\|\vec{r}'(t)\|} = \frac{1}{\sqrt{x'^2(t)+ y'^2(t)+ z'^2(t)}} (x'(t), y'(t), z'(t)) = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)

同时, 弧长微元可以写作:

ds=(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2dtds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} dt

我们发现根式刚好可以抵消掉分母, 从而得到:

∫LP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=∫ab[P(x,y,z)x′(t)+Q(x,y,z)y′(t)+R(x,y,z)z′(t)]dt\int_L P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz = \int_a^b [P(x, y, z) x'(t) + Q(x, y, z) y'(t) + R(x, y, z) z'(t)] dt

曲面积分

曲面的面积问题

设曲面Σ\Sigma的方程为:

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)x=x(u,v), \quad y=y(u,v), \quad z=z(u,v)

即: r⃗(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)∈D\vec{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), \quad (u,v) \in D, 其中DD是uvuv平面上的一个具有光滑边界的有界闭区间. 相应的Jacobi矩阵为:

J=∂(x,y,z)∂(u,v)=(∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∂z∂u∂z∂v)J = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v)}=\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{pmatrix}

利用Jacobi矩阵我们可以在uvuv平面上的小区域和xyzxyz空间中的小曲面Σ\Sigma中建立一个映射关系, 从而可以把uvuv平面上的面积元素dudvdu dv映射到xyzxyz空间中的面积元素dSdS. 我们先考虑uvuv平面中的小矩形P1P2P3P4P_1P_2P_3P_4, 其中P1=(u,v)P_1 = (u,v), P2=(u+Δu,v)P_2 = (u+\Delta u, v), P3=(u+Δu,v+Δv)P_3 = (u+\Delta u, v+\Delta v), P4=(u,v+Δv)P_4 = (u, v+\Delta v). 则在xyzxyz空间中对应的四个点分别为:

r⃗(P1)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))r⃗(P2)=(x(u+Δu,v),y(u+Δu,v),z(u+Δu,v))r⃗(P3)=(x(u+Δu,v+Δv),y(u+Δu,v+Δv),z(u+Δu,v+Δv))r⃗(P4)=(x(u,v+Δv),y(u,v+Δv),z(u,v+Δv))\begin{aligned}&\vec{r}(P_1) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \\ &\vec{r}(P_2) = (x(u+\Delta u, v), y(u+\Delta u, v), z(u+\Delta u, v)) \\ &\vec{r}(P_3) = (x(u+\Delta u, v+\Delta v), y(u+\Delta u, v+\Delta v), z(u+\Delta u, v+\Delta v)) \\ &\vec{r}(P_4) = (x(u, v+\Delta v), y(u, v+\Delta v), z(u, v+\Delta v)) \end{aligned}

我们可以近似的把P1P2P3P4P_1P_2P_3P_4映射成一个平行四边形, 其面积的计算可以用外积来完成, 也就是ΔS=∥P1P2⃗×P1P4⃗∥\Delta S = \| \vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_4} \|.

显然, u曲线和v曲线在P1P_1处的切向量分别为r⃗u(u,v)\vec{r}_u(u,v)和r⃗v(u,v)\vec{r}_v(u,v), 因此P1P2⃗\vec{P_1P_2}和P1P4⃗\vec{P_1P_4}分别可以近似的表示为r⃗u(u,v)Δu\vec{r}_u(u,v) \Delta u和r⃗v(u,v)Δv\vec{r}_v(u,v) \Delta v, 误差项分别为o(Δu)o(\Delta u)和o(Δv)o(\Delta v), 所以我们不难得知

Q1Q2⃗=r⃗(P2)−r⃗(P1)=r⃗u(u,v)Δu+o(Δu)Q1Q4⃗=r⃗(P4)−r⃗(P1)=r⃗v(u,v)Δv+o(Δv)\begin{aligned} \vec{Q_1Q_2} = \vec{r}(P_2) - \vec{r}(P_1) &= \vec{r}_u (u,v) \Delta u + o(\Delta u) \\ \vec{Q_1Q_4} = \vec{r}(P_4) - \vec{r}(P_1) &= \vec{r}_v (u,v) \Delta v + o(\Delta v) \end{aligned}

根据这个指导思想, 我们可以完成以下运算:

dS=∥Q1Q2⃗×Q1Q4⃗∥=∥(r⃗u(u,v)Δu+o(Δu))×(r⃗v(u,v)Δv+o(Δv))∥=∥r⃗u(u,v)×r⃗v(u,v)∥dudvdS = \| \vec{Q_1Q_2} \times \vec{Q_1Q_4} \| = \| (\vec{r}_u (u,v) \Delta u + o(\Delta u)) \times (\vec{r}_v (u,v) \Delta v + o(\Delta v)) \| = \| \vec{r}_u (u,v) \times \vec{r}_v(u,v) \| du dv

所以曲面的面积可以表示为:

S=∬D∥r⃗u(u,v)×r⃗v(u,v)∥dudvS = \iint_D \| \vec{r}_u (u,v) \times \vec{r}_v(u,v) \| du dv

更具体的计算方法如下:

S=∬D∥r⃗u(u,v)×r⃗v(u,v)∥dudv=∬D∣∣i⃗j⃗k⃗∂x∂u∂y∂u∂z∂u∂x∂v∂y∂v∂z∂v∣∣dudv=∬D(∂y∂u∂z∂v−∂z∂u∂y∂v)2+(∂z∂u∂x∂v−∂x∂u∂z∂v)2+(∂x∂u∂y∂v−∂y∂u∂x∂v)2dudv=∬DEG−F2dudv\begin{aligned} S &= \iint_D \| \vec{r}_u (u,v) \times \vec{r}_v(u,v) \| du dv \\ &= \iint_D \left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{vmatrix} \right| du dv \\ &= \iint_D \sqrt{\left( \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} - \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} \right)^2 + \left( \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} \right)^2 } du dv \\ &= \iint_D \sqrt{EG-F^2} du dv \end{aligned} E=r⃗u⋅r⃗uE = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_u F=r⃗u⋅r⃗vF = \vec{r}_u \cdot \vec{r}_v G=r⃗v⋅r⃗vG = \vec{r}_v \cdot \vec{r}_v

现在考虑两种特殊情况:

  1. 当曲面Σ\Sigma可以用一个函数z=f(x,y)z=f(x,y)来表示时, 则有:
S=∬DEG−F2dudv=∬D1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2dxdy\begin{aligned} S &= \iint_D \sqrt{EG-F^2} du dv \\ &= \iint_D \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} dx dy \end{aligned}
  1. 当曲面可以用一个方程H(x,y,z)=0H(x,y,z) = 0来表示时, 则有:
S=∬DEG−F2dudv=∬D∥gradH∥∥Hz∥dxdyS = \iint_D \sqrt{EG-F^2} du dv = \iint_D \frac{\| \text{grad} H \|}{\|H_z\|} dx dy

第一类曲面积分

设Σ\Sigma是R3R^3中的一个光滑曲面, 则对于一个定义在Σ\Sigma上的函数ff, 我们可以定义曲面积分:

∬Σf(x,y,z)dS=lim⁡λ→0Σi=1nf(Pi)ΔSi\iint_{\Sigma} f(x,y,z) dS = \lim_{\lambda \to 0} \Sigma_{i=1}^n f(P_i) \Delta S_i

设Σ\Sigma的方程为:

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)x=x(u,v), \quad y=y(u,v), \quad z=z(u,v)

我们采用类似的技巧来计算第一类曲面积分, 这里省略过程:

∬Σf(x,y,z)dS=∬Df(x(u,v),y(u,v),z(u,v))EG−F2dudv\iint_{\Sigma} f(x,y,z) dS = \iint_D f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \sqrt{EG-F^2} du dv

特别的, 当曲面Σ\Sigma可以用一个函数z=g(x,y)z=g(x,y)来表示时, 则有:

∬Σf(x,y,z)dS=∬Df(x,y,g(x,y))1+(∂g∂x)2+(∂g∂y)2dxdy\iint_{\Sigma} f(x,y,z) dS = \iint_D f(x,y,g(x,y)) \sqrt{1 + \left( \frac{\partial g}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial g}{\partial y} \right)^2} dx dy

第二类曲面积分

为了引入第二类曲面积分, 我们需要对曲面的定义做一些修改和调整. 我们需要定义什么是曲面的侧.

曲面的侧

设Σ\Sigma是一张光滑曲面, PP为曲面上任意一点, ΓP\Gamma_P是过点PP且不经过曲面边界的任意一条闭曲线, 取定Σ\Sigma在PP处的一个单位法向量, 倘若该向量沿着ΓP\Gamma_P的方向旋转一周后仍然指向同一侧, 则称Σ\Sigma为单侧曲面.

我们的积分将沿着一侧完成.

前面我们已经知道, 曲面的法向量可以表示为:

±ru×rv=±(∂(y,z)∂(u,v),∂(z,x)∂(u,v),∂(x,y)∂(u,v))\pm r_u \times r_v = \pm \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right)

所以单位法向量可以写作:

n⃗=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)=1±EG−F2(∂(y,z)∂(u,v),∂(z,x)∂(u,v),∂(x,y)∂(u,v))\vec{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) = \frac{1}{\pm \sqrt{EG-F^2}} \left( \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)}, \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right)

取定一个符号也就意味着取定了一个侧. 曲面的双侧性和方向余弦的连续性保证了不会在连续改变坐标的过程中翻转到另一个侧.

下面给出第二类曲面积分的定义:

设Σ\Sigma是R3R^3中的一个单侧光滑曲面, 则对于一个定义在Σ\Sigma上的向量函数F⃗=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec{F} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 我们可以定义第二类曲面积分:

假设曲面上每一点都有一个单位法向量n⃗=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\vec{n} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma), 则有:

∬ΣF⃗⋅n⃗dS=lim⁡λ→0∑i=1nF⃗(Pi)⋅n⃗iΔSi=∬Σ[P(x,y,z)cos⁡α+Q(x,y,z)cos⁡β+R(x,y,z)cos⁡γ]dS\begin{aligned} \iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS &= \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \vec{F}(P_i) \cdot \vec{n}_i \Delta S_i \\ &= \iint_{\Sigma} [P(x,y,z) \cos \alpha + Q(x,y,z) \cos \beta + R(x,y,z) \cos \gamma] dS \end{aligned}

这就是第二类曲面积分的定义.

性质:

  • 线性性质: 设向量函数F⃗\vec{F}和G⃗\vec{G}在曲面Σ\Sigma上连续, 则对于任意常数aa和bb, 向量函数aF⃗+bG⃗a\vec{F} + b\vec{G}在曲面Σ\Sigma上也连续, 且有:
∬Σ(aF⃗+bG⃗)⋅n⃗dS=a∬ΣF⃗⋅n⃗dS+b∬ΣG⃗⋅n⃗dS\iint_{\Sigma} (a\vec{F} + b\vec{G}) \cdot \vec{n} dS = a \iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS + b \iint_{\Sigma} \vec{G} \cdot \vec{n} dS
  • 方向性: 记−Σ-\Sigma为曲面Σ\Sigma的反向, 则有:
∬−ΣF⃗⋅n⃗dS=−∬ΣF⃗⋅n⃗dS\iint_{-\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = - \iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS
  • 曲面可加性: 设Σ1\Sigma_1和Σ2\Sigma_2是曲面Σ\Sigma的两条子曲面, 且Σ1∩Σ2=∅,Σ=Σ1∪Σ2\Sigma_1 \cap \Sigma_2 = \emptyset, \quad \Sigma = \Sigma_1 \cup \Sigma_2, 则对于任意向量函数F⃗\vec{F}在曲面Σ\Sigma上连续, 都有:
∬ΣF⃗⋅n⃗dS=∬Σ1F⃗⋅n⃗dS+∬Σ2F⃗⋅n⃗dS\iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot \vec{n} dS + \iint_{\Sigma_2} \vec{F} \cdot \vec{n} dS

下面讨论如何计算第二类曲面积分:

设Σ\Sigma的方程为:

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)x=x(u,v), \quad y=y(u,v), \quad z=z(u,v)

则有:

∬ΣF⃗⋅n⃗dS=∬D[P(x,y,z)cos⁡α+Q(x,y,z)cos⁡β+R(x,y,z)cos⁡γ]EG−F2dudv=∬D[P(x,y,z)∂(y,z)∂(u,v)+Q(x,y,z)∂(z,x)∂(u,v)+R(x,y,z)∂(x,y)∂(u,v)]dudv\begin{aligned} \iint_{\Sigma} \vec{F} \cdot \vec{n} dS &= \iint_D [P(x,y,z) \cos \alpha + Q(x,y,z) \cos \beta + R(x,y,z) \cos \gamma] \sqrt{EG-F^2} du dv \\ &= \iint_D [P(x,y,z) \frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)} + Q(x,y,z) \frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)} + R(x,y,z) \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}] du dv \end{aligned}

注意: 很多时候我们会把第二类曲面积分表示为:

∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy\iint_{\Sigma} P dy dz + Q dz dx + R dx dy

这是和外积有关的一个记号, 也就是:

F⃗⋅n⃗dS=(P,Q,R)⋅(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)dS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\vec{F} \cdot \vec{n} dS = (P, Q, R) \cdot (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) dS = P dy dz + Q dz dx + R dx dy

Green公式, Stokes公式和Gauss公式

在本部分我们会对三种特殊的积分公式进行介绍, 这三种公式分别是Green公式, Stokes公式和Gauss公式. 这三种公式在物理学中有着非常重要的意义, 是电磁学等领域的基础.

Green公式

定理: 设DD是R2R^2中的一个单连通有界闭区域, 如果函数P(x,y)P(x,y)和Q(x,y)Q(x,y)在DD上连续且具有连续偏导数, 则有:

∫∂DPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\int_{\partial D} P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy

其中∂D\partial D表示区域DD的边界, 取正向. 正向的约定: 取法向量指向+z+z时, 沿∂D\partial D的走向为逆时针, 即右手螺旋准则中四指弯曲的方向.

证明: 先证明对矩形D=[a,b]×[c,d]D=[a,b]\times[c,d]成立. 由一维微积分基本定理,

∫∂DPdx+Qdy=∫abP(x,c)dx−∫abP(x,d)dx+∫cdQ(b,y)dy−∫cdQ(a,y)dy\int_{\partial D} P dx + Q dy = \int_a^b P(x,c) dx - \int_a^b P(x,d) dx + \int_c^d Q(b,y) dy - \int_c^d Q(a,y) dy

另一方面,

∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∫cd∫ab∂Q∂xdxdy−∫ab∫cd∂P∂ydydx\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \int_c^d \int_a^b \frac{\partial Q}{\partial x} dx dy - \int_a^b \int_c^d \frac{\partial P}{\partial y} dy dx

对内层积分用牛顿-莱布尼茨公式, 得到与边界积分同样的表达式, 因而矩形情形成立.

对一般单连通有界闭区域DD, 用网格把DD细分为若干小矩形并取其并集逼近DD. 在每个小矩形上应用已证结论并求和, 内部公共边的线积分因方向相反相互抵消, 只剩下外边界∂D\partial D上的积分. 令网格加细并取极限, 由P,QP,Q的连续性及偏导连续性可把和的极限换成二重积分的极限, 从而得到

∫∂DPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\int_{\partial D} P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy

准确的说, Green公式的意义在于把第二类曲线积分转化成了一个重积分问题.

我们一般不会在笔记中记录例子, 但是在这里有一个非常有趣的应用.

如何计算椭圆x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1所围成区域DD的面积?

我们可以把这个问题转化成一个曲线积分问题, 注意取边界的正向(逆时针):

∫∂Dxdy−ydx\int_{\partial D} x dy - y dx

根据Green公式, 令P=−y, Q=xP=-y,\ Q=x, 则

∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∬D(1−(−1)) dxdy=2∬Ddxdy\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \iint_D (1-(-1))\,dx dy = 2\iint_D dx dy

于是

area(D)=∬Ddxdy=12∫∂Dxdy−ydx\text{area}(D) = \iint_D dx dy = \frac{1}{2}\int_{\partial D} x dy - y dx

再对椭圆作参数化: x=acos⁡t, y=bsin⁡t, t∈[0,2π]x=a\cos t,\ y=b\sin t,\ t\in[0,2\pi]. 则

∫∂Dxdy−ydx=∫02π(acos⁡t⋅bcos⁡t−bsin⁡t⋅(−asin⁡t))dt=∫02πab(cos⁡2t+sin⁡2t) dt=2πab\begin{aligned} \int_{\partial D} x dy - y dx &= \int_0^{2\pi} \left(a\cos t\cdot b\cos t - b\sin t\cdot(-a\sin t)\right) dt \\ &= \int_0^{2\pi} ab(\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt = 2\pi ab \end{aligned}

所以椭圆的面积为

area(D)=πab.\text{area}(D)=\pi ab.

最强大的一点是这个环路积分是生凑出来的, 但是却能得到正确的结果. 这就是Green公式的魅力所在.

另外, Green公式在物理中是有意义的. 物理中很多时候第二类曲线积分是对应于做功的, 而曲线积分中的函数F⃗\vec{F}则是对应于力的. 而如果在空间中两点间任意路径的曲线积分都是定值, 那么这个力就被称作保守力. 用数学的语言表述:

定理: 设DD是R2R^2中的一个单连通有界闭区域, 如果函数P(x,y)P(x,y)和Q(x,y)Q(x,y)在DD上连续且具有连续偏导数, 则以下条件等价:

  1. 对DD内任意两点AA和BB, 沿着DD内的任意路径Γ\Gamma从AA到BB的曲线积分∫ΓPdx+Qdy\int_{\Gamma} P dx + Q dy都是定值.
  2. 对于DD内任意一条闭曲线Γ\Gamma, 曲线积分∫ΓPdx+Qdy=0\int_{\Gamma} P dx + Q dy = 0.
  3. 存在DD上的可微函数U(x,y)U(x,y), 使得∂U∂x=P\frac{\partial U}{\partial x} = P, ∂U∂y=Q\frac{\partial U}{\partial y} = Q, 且
dU=Pdx+QdydU = P dx + Q dy
  1. 在DD的范围内恒成立: ∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

这组定理称为Green定理. 证明中最困难的部分是证明条件2⇒\Rightarrow条件3, 其他部分的证明都比较简单.

我们给出条件2⇒\Rightarrow条件3的证明:

我们任意选取定点(x0,y0)∈D(x_0, y_0) \in D, 并定义函数U(x,y)U(x,y)为:

U(x,y)=∫ΓPdx+QdyU(x,y) = \int_{\Gamma} P dx + Q dy

其中Γ\Gamma是DD内任意一条从(x0,y0)(x_0, y_0)到(x,y)(x,y)的路径. 由于条件2的存在, U(x,y)U(x,y)的定义不依赖于路径的选择. 所以函数U(x,y)U(x,y)是良定义的. 接下来我们需要证明U(x,y)U(x,y)满足∂U∂x=P\frac{\partial U}{\partial x} = P, ∂U∂y=Q\frac{\partial U}{\partial y} = Q.

ΔUΔx=U(x+Δx,y)−U(x,y)Δx=1Δx(∫(x0,y0)(x+Δx,y)Pdx+Qdy−∫(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdy)=1Δx∫(x,y)(x+Δx,y)Pdx+Qdy=1Δx∫xx+ΔxP(x,y)dx→P(x,y)(Δx→0)\begin{aligned} \frac{\Delta U}{\Delta x} &= \frac{U(x+\Delta x, y)- U(x, y)}{\Delta x}\\ &= \frac{1}{\Delta x} \left( \int_{(x_0, y_0)}^{(x+\Delta x, y)} P dx + Q dy - \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P dx + Q dy \right) \\ &= \frac{1}{\Delta x} \int_{(x, y)}^{(x+\Delta x, y)} P dx + Q dy \\ &= \frac{1}{\Delta x} \int_x^{x+\Delta x} P(x,y) dx \to P(x,y) \quad (\Delta x \to 0) \end{aligned}

同理可以证明∂U∂y=Q\frac{\partial U}{\partial y} = Q. 从而完成证明.

定理: 设DD是R2R^2中的一个单连通有界闭区域, 如果函数P(x,y)P(x,y)和Q(x,y)Q(x,y)在DD上连续且具有连续偏导数, 则路径积分:

∫ΓPdx+Qdy\int_{\Gamma} P dx + Q dy

与路径无关的充分必要条件是在DD上存在一个原函数U(x,y)U(x,y), 使得:

∫AB^Pdx+Qdy=U(B)−U(A)\int_{\widehat{AB}} P dx + Q dy = U(B) - U(A)

Gauss公式

定理: 设Ω\Omega是R3R^3中的一个单连通有界闭区域, 如果函数P(x,y,z)P(x,y,z), Q(x,y,z)Q(x,y,z)和R(x,y,z)R(x,y,z)在Ω\Omega上连续且具有连续偏导数, 则有:

∬∂ΩPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dxdydz\iint_{\partial \Omega} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx dy dz

Gauss公式的意义在于把第二类曲面积分转化成了一个重积分问题. 在物理上Gauss公式和闭曲面通量, 散度, 源/汇等概念有着密切的联系.

Stokes公式

设Σ\Sigma是R3R^3中的一个单侧光滑曲面, ∂Σ\partial \Sigma是Σ\Sigma的边界, 则对于一个定义在Σ\Sigma上的向量函数F⃗=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec{F} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 如果函数P(x,y,z)P(x,y,z), Q(x,y,z)Q(x,y,z)和R(x,y,z)R(x,y,z)在Σ\Sigma上连续且具有连续偏导数, 则有:

∫∂ΣPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\int_{\partial \Sigma} P dx + Q dy + R dz = \iint_{\Sigma} \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy

Stokes公式的意义在于把第二类曲线积分转化成了一个第二类曲面积分问题. 在物理上Stokes公式和旋度, 涡旋等概念有着密切的联系.

证明过于复杂, 我们不在这里给出. 证明的核心思想是把曲面Σ\Sigma细分成若干小块, 每一小块都近似于一个平面, 从而可以应用Green公式. 最后把所有小块的结果加起来, 内部公共边的线积分因方向相反相互抵消, 只剩下边界∂Σ\partial \Sigma上的积分.

我们利用行列式记号把Stokes公式的右边表达式写成更简洁的形式:

∫∂ΣPdx+Qdy+Rdz=∬Σ∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣⋅n⃗dS=∬Σ∣cos⁡αcos⁡βcos⁡γ∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣dS\int_{\partial \Sigma} P dx + Q dy + R dz = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} \cdot \vec{n} dS = \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS

日常应用我们一般会采取后面给出的这种形式用来计算.

场论

我们为了了更好的理解Green公式, Stokes公式和Gauss公式, 需要引入一些物理学中的概念, 这些概念在电磁学等领域有着非常重要的意义.

梯度

对于一个定义在R3R^3上的标量函数f(x,y,z)f(x,y,z), 我们可以定义它的梯度为:

gradf=∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\text{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)

产生的新的函数∇f\nabla f是一个向量函数, 其每个分量都是ff的偏导数. 梯度的物理意义在于它表示了函数ff在空间中的变化率和变化方向.

散度

对于一个定义在R3R^3上的向量函数F⃗=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec{F} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 我们可以定义它的散度为:

divF⃗=∇⋅F⃗=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\text{div} \vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

梯度和散度的差异在于梯度面对的是标量函数, 而散度面对的是向量函数. 梯度产生了一个向量函数, 而散度产生了一个标量函数. 散度的物理意义在于它表示了向量函数F⃗\vec{F}在空间中的发散程度, 也就是源/汇的强弱.

旋度

对于一个定义在R3R^3上的向量函数F⃗=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec{F} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 我们可以定义它的旋度为:

curlF⃗=∇×F⃗=(∂R∂y−∂Q∂z,∂P∂z−∂R∂x,∂Q∂x−∂P∂y)\text{curl} \vec{F} = \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)

旋度的物理意义在于它表示了向量函数F⃗\vec{F}在空间中的旋转程度, 也就是涡旋的强弱.

保守场和势能

对于一个定义在R3R^3上的向量函数F⃗=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))\vec{F} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 如果存在一个标量函数U(x,y,z)U(x,y,z), 使得∇U=F⃗\nabla U = \vec{F}, 则称F⃗\vec{F}为保守场, UU为F⃗\vec{F}的势能. 保守场的物理意义在于它表示了一个力场, 其做功只与起点和终点的位置有关, 与路径无关. 势能的物理意义在于它表示了一个系统的能量状态, 其数值大小反映了系统的稳定程度.

关于场论部分, 关于能量部分有兴趣可以参考我的分析力学的笔记. 那里做了比较详细的阐述, 也有更理论性的表述.