Limits and continuity in Euclidean space

本部分我们会简单涉及一些拓扑学的内容, 并完成从一元微积分学到多元微积分学的过渡. 我们从此开始转向研究多元函数的分析性质.

Euclid空间

让我们首先回顾一下一元函数的极限定义:

定义: 设函数$f(x)$定义在$E$的某个邻域内, $x_0$是$E$的一个内点. 如果对于任意$\epsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 使得对于所有$x \in E$且$0 < |x - x_0| < \delta$, 都有$|f(x) - A| < \epsilon$, 则称函数$f(x)$在$x_0$处的极限为$A$, 记为$\lim_{x\to x_0} f(x) = A$.

整个定义的关键在于$|x - x_0| < \delta$这个条件. 这个条件刻画了$x$与$x_0$之间的距离, 从而保证了函数$f(x)$在$x$附近的行为. 但是当我们转向研究多元函数时, 我们需要一个新的工具来刻画点与点之间的距离, 换言之, 我们需要重新定义距离. 这是我们定义空间时最重要的任务.

但是在此之前, 让我们用公理化的语言重新定义一下空间:

定义: 记$R$是实数全体, 定义$n$个$R$的Descartes积

$$R^n = R \times R \times \cdots \times R = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in R, i = 1, 2, \ldots, n\}$$

其中$R$出现$n$次. 对于$R^n$中的每个元素我们都称之为点或者向量, $x_i$称为点$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$的第$i$个坐标. 特别的, 我们定义$R^n$中的点$(0, 0, \ldots, 0)$为零向量.

特别的, 如果我们为$R^n$中的点定义如下的加法和数乘运算:

• 加法: 对于任意$x = (x_1, x_2, \cdots, x_n), y = (y_1, y_2, \cdots, y_n) \in R^n$, 定义$x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots, x_n + y_n)$.
• 数乘: 对于任意$x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in R^n$和任意$\lambda \in R$, 定义$\lambda x = (\lambda x_1, \lambda x_2, \cdots, \lambda x_n)$.

此时的$R^n$就被称作向量空间, 也是一个常见的线性空间.

如果我们再在$R^n$中定义内积运算, 即:

$$\langle x, y \rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n = \sum_{i=1}^n x_i y_i$$

内积运算显然具有以下四条性质 (我们理应在线性代数课程中学习过并完成过证明):

• 正定性: 对于任意$x \in R^n$, 都有$\langle x, x \rangle \geq 0$, 且当且仅当$x$是零向量时, $\langle x, x \rangle = 0$.
• 对称性: 对于任意$x, y \in R^n$, 都有$\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$.
• 线性性: 对于任意$x, y, z \in R^n$和任意$\lambda \in R$, 都有$\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle$和$\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle$.
• Cauchy-Schwarz不等式: 对于任意$x, y \in R^n$, 都有$|\langle x, y \rangle| \leq \sqrt{\langle x, x \rangle} \cdot \sqrt{\langle y, y \rangle}$

定义: 配备了内积运算和向量空间结构的$R^n$就被称作Euclid空间.

下面, 我们不妨思考一下距离应该具有什么性质:

• 非负性: 对于任意$x, y \in R^n$, 都有$d(x, y) \geq 0$, 且当且仅当$x = y$时, $d(x, y) = 0$
• 对称性: 对于任意$x, y \in R^n$, 都有$d(x, y) = d(y, x)$.
• 三角不等式: 对于任意$x, y, z \in R^n$, 都有$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$. 这条是由平面三角形的基本性质决定的, 我们决定在更高维度上延续它.

我们可以很容易的发现, 距离应该具有的朴素性质, 和内积运算的朴素性质不谋而合, 因此我们可以通过内积运算来定义距离.

定义(范数): 设$x \in R^n$, 定义$x$的范数为:

$$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}$$

定义(距离): 设$x, y \in R^n$, 定义$x$与$y$之间的距离为:

$$d(x, y) = \sqrt{\langle x - y, x - y \rangle} = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2}$$

实际上, 距离就是范数的推广. 也就是说, 距离是定义在两个点之间的函数, 而范数是定义在一个点上的函数. 当然, 距离和范数之间有着密切的联系, 因为距离可以通过范数来定义, 即$d(x, y) = \|x - y\|$.

自然, 范数和距离都具有我们之前提到的那些朴素性质. 这里不再赘述.

Euclid空间的性质

现在我们已经充分良好的定义了一个空间和配备在这个空间上的诸多良好性质, 我们就可以开始研究定义在这个空间上的函数了. 当然, 这里我们主要关注的是多元函数, 因为一元函数的分析性质我们已经非常熟悉了.

然而, 为了更好的给出多元函数的极限的定义, 我们首先需要对我们刚刚认识的这个空间构建一些了解. 最浅层次的, 我们需要知道一元函数中涉及到的各种事物存不存在一个双射到多元函数中. 例如, 在一元函数中, 我们有数列、极限、连续性、可微性等概念. 那么在多元函数中, 这些概念是否存在? 如果存在, 那么它们的定义是什么? 下面我们将逐一介绍这些概念.

定义: 多元函数是指定义在$R^n$上的函数, 即$f: R^n \to R$. 其中$n$被称为函数的变量个数或者维数. 我们可以把多元函数写作:

$$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$$

至此, 我们完成了从一元函数到多元函数的过渡. 下面我们将继续研究多元函数的分析性质, 包括极限、连续性、可微性等. 这里我们先从极限开始. 我们依旧遵从之前的思路, 先定义数列的极限, 然后再定义函数的极限. 这里我们先介绍数列的极限.

定义(数列极限): 设$\{x_n\}$是$R^n$中的一个数列, 如果存在$x_0 \in R^n$, 使得对于任意$\epsilon > 0$, 存在$N \in \mathbb{N}^*$, 使得对于所有$n > N$, 都有$d(x_n, x_0) < \epsilon$, 则称数列$\{x_n\}$收敛于$x_0$, 记为$\lim_{n\to\infty} x_n = x_0$, 反之则称数列$\{x_n\}$发散.

显然, 或者说近乎直观的, 我们可以得到下面这个定理:

定理: 设$\{x_n\}$是$R^n$中的一个数列, 则数列$\{x_n\}$收敛于$x_0$当且仅当对于任意$i = 1, 2, \cdots, n$, 数列$\{x_{n,i}\}$收敛于$x_{0,i}$, 其中$x_{n,i}$和$x_{0,i}$分别是数列$\{x_n\}$和点$x_0$的第$i$个坐标.

下面我们将讨论一些拓扑学的概念, 以便更好的理解多元函数的极限和连续性等分析性质. 这里我们先介绍开集和闭集的概念. 我们可以把它们看作是开区间和闭区间在多元函数中的推广.

空间中的点无非可以分成三种:

• 内点: 如果点$x$存在一个邻域$U$, 使得$U$中的所有点都属于集合$E$, 则称$x$是集合$E$的一个内点.
• 边界点: 如果点$x$任意一个邻域$U$, 都存在$U$中的点属于集合$E$, 也存在$U$中的点不属于集合$E$, 则称$x$是集合$E$的一个边界点.
• 外点: 如果点$x$存在一个邻域$U$, 使得$U$中的所有点都不属于集合$E$, 则称$x$是集合$E$的一个外点.

但是为了描述集合的边界问题, 我们还需要定义聚点的概念. 设$E$是$R^n$中的一个集合, 如果点$x$的任意一个邻域$U$, 都存在$U$中的点属于集合$E$, 则称$x$是集合$E$的一个聚点.

至此, 我们可以定义开集和闭集了:

• 开集: 如果集合$E$中的每个点都是集合$E$的一个内点, 则称集合$E$是一个开集.
• 闭集: 如果集合$E$包含了集合$E$的所有聚点, 则称集合$E$是一个闭集.

而$S$与它的全部聚点集合$S'$的并集$S \cup S'$被称为集合$S$的闭包.

定理: $R^n$中的点集$S$是一个闭集当且仅当$R^n \setminus S$是一个开集.

定理(De’ Morgan定律): 设$A$和$B$是$R^n$中的两个集合, 则有下面的等式成立:

$$\begin{aligned} &\text{(1) } R^n \setminus (A \cup B) = (R^n \setminus A) \cap (R^n \setminus B) \\ &\text{(2) } R^n \setminus (A \cap B) = (R^n \setminus A) \cup (R^n \setminus B) \end{aligned}$$

当然这个定理也可以扩展到任意多个集合的情况:

$$\begin{aligned}&\text{(1) } R^n \setminus \left( \bigcup_{i=1}^m A_i \right) = \bigcap_{i=1}^m (R^n \setminus A_i) \\ &\text{(2) } R^n \setminus \left( \bigcap_{i=1}^m A_i \right) = \bigcup_{i=1}^m (R^n \setminus A_i) \end{aligned}$$

Euclid空间的基本定理

本部分涉及的定理将更多局限在$R^2$中, 以便更好的说明问题. 当然, 这些定理也可以推广到更高维度的空间中.

闭矩形套定理

定理: 设$\Delta_k = [a_k, b_k] \times [c_k, d_k]$是$R^2$中的一个闭矩形, 其中$a_k < b_k$且$c_k < d_k$. 如果$\Delta_1 \supset \Delta_2 \supset \cdots \supset \Delta_k \supset \cdots$, 且满足:

$$\lim_{k\to\infty} \sqrt{(b_k - a_k)^2 + (d_k - c_k)^2} = 0$$

则存在唯一的点$(x_0, y_0)$使得$\bigcap_{k=1}^{\infty} \Delta_k = \{(x_0, y_0)\}$. 且:

$$\begin{aligned} &\lim_{k\to\infty} a_k = \lim_{k\to\infty} b_k = x_0 \\ &\lim_{k\to\infty} c_k = \lim_{k\to\infty} d_k = y_0 \end{aligned}$$

证明思路: 只需要对于两个方向分别运用闭区间套定理即可. 这里从略.

同理我们也可以得到Cantor闭区域套定理. 这里我们不再赘述.

Bolzano-Weierstrass定理

在正式阐述Bolzano-Weierstrass定理之前, 我们需要定义一下什么是有界性:

定义: 设$E$是$R^n$中的一个集合, 如果存在一个实数$M > 0$, 使得对于任意$x \in E$, 都有$\|x\| < M$, 则称集合$E$是一个有界集.

定理(Bolzano-Weierstrass定理): 设$\{x_n\}$是$R^n$中的一个数列, 如果数列$\{x_n\}$是有界的, 则数列$\{x_n\}$存在一个收敛的子数列.

证明思路: 先在第一个坐标上利用Bolzano-Weierstrass定理找到一个收敛的子数列, 然后在第二个坐标上利用Bolzano-Weierstrass定理找到一个收敛的子数列, 以此类推, 最后得到一个收敛的子数列. 这里从略.

换言之, 这是一个递归的过程, 每次递归都在一个坐标上进行, 最后得到一个收敛的子数列. 这里的思路非常清晰.

Cauchy收敛准则

定理(Cauchy收敛准则): 设$\{x_n\}$是$R^n$中的一个数列, 则数列$\{x_n\}$收敛当且仅当对于任意$\epsilon > 0$, 存在$N \in \mathbb{N}^*$, 使得对于所有$m, n > N$, 都有$d(x_m, x_n) < \epsilon$.

证明: 设数列$\{x_n\}$收敛于$x_0$, 则对于任意$\epsilon > 0$, 存在$N \in \mathbb{N}^*$, 使得对于所有$n > N$, 都有$d(x_n, x_0) < \frac{\epsilon}{2}$. 因此, 对于任意$m, n > N$, 都有:

$$d(x_m, x_n) \leq d(x_m, x_0) + d(x_0, x_n) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

反之, 设对于任意$\epsilon > 0$, 存在$N \in \mathbb{N}^*$, 使得对于所有$m, n > N$, 都有$d(x_m, x_n) < \epsilon$. 则数列$\{x_n\}$是有界的. 根据Bolzano-Weierstrass定理, 数列$\{x_n\}$存在一个收敛的子数列$\{x_{n_k}\}$, 设数列$\{x_{n_k}\}$收敛于$x_0$. 则对于任意$\epsilon > 0$, 存在$K \in \mathbb{N}^*$, 使得对于所有$k > K$, 都有$d(x_{n_k}, x_0) < \frac{\epsilon}{2}$. 因此, 对于任意$n > N$和任意$k > K$, 都有:

$$d(x_n, x_0) \leq d(x_n, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x_0) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

其实本定理的证明和一元函数中的Cauchy收敛准则的证明是完全一样的, 只是我们需要把绝对值替换成距离. 这里的思路非常清晰.

Heine-Borel定理

我们首先定义什么是开覆盖:

定义: 设$E$是$R^n$中的一个集合, 如果对于任意$\alpha \in A$, $G_\alpha$都是$R^n$中的一个开集, 且满足$E \subset \bigcup_{\alpha \in A} G_\alpha$, 则称集合$\{G_\alpha\}_{\alpha \in A}$是集合$E$的一个开覆盖.

我们首先给出紧集的开覆盖定义:

定义: 设$E$是$R^n$中的一个集合, 如果对于任意$E$的开覆盖$\{G_\alpha\}_{\alpha \in A}$, 都存在有限个开集$G_{\alpha_1}, G_{\alpha_2}, \cdots, G_{\alpha_m}$使得$E \subset G_{\alpha_1} \cup G_{\alpha_2} \cup \cdots \cup G_{\alpha_m}$, 则称集合$E$是一个紧集.

定理(Heine-Borel定理): 设$E$是$R^n$中的一个集合, 则集合$E$是一个紧集当且仅当集合$E$是一个有界闭集.

注意: 本定理只在$R^n$中成立, 更一般的说, 本定理只在有限维赋范空间中成立. 在无限维赋范空间中, 紧集的定义和性质都发生了很大的变化, 这里我们不再赘述. 我们只给出反例: 在无限维赋范空间中, 闭球是一个有界闭集, 但是它不是一个紧集.

下面给出$n=2$时本定理的证明. 需要注意本定理的证明相对复杂.

证明:

1. 必要性
   • 有界 设$S$为紧集, 显然$\{O(0,1)\subset R^2| x\in S\}$是$S$的一个开覆盖, 因此存在有限个开集$O(0,1), O(x_1,1), \cdots, O(x_m,1)$使得$S \subset O(0,1) \cup O(x_1,1) \cup \cdots \cup O(x_m,1)$. 因此, 可以得到$S \subset O(0,1) \cup O(x_1,1) \cup \cdots \cup O(x_m,1) \subset O(0,M)$, 其中$M = 2\max\{\|x_1\|, \|x_2\|, \cdots, \|x_m\|\} + 1$. 因此, 集合$S$是有界的.
   • 闭集 运用反证法, 我们假设存在$a \in \overline{S} \setminus S$, 即$a$是$S$的聚点但不在$S$中. 我们构造开集:

$$G_n = \{x \in R^2 : \|x - a\| > \frac{1}{n}\}, n = 1, 2, \cdots$$

显然, $\{G_n\}_{n=1}^{\infty}$是$S$的一个开覆盖. 因此, 存在有限个开集$G_{n_1}, G_{n_2}, \cdots, G_{n_k}$使得$S \subset G_{n_1} \cup G_{n_2} \cup \cdots \cup G_{n_k}$. 设$N = \max\{n_1, n_2, \cdots, n_k\}$, 则对于任意$n > N$, 都有$G_n \subset G_N$, 因此, 可以得到$S \subset G_{n_1} \cup G_{n_2} \cup \cdots \cup G_{n_k} \subset G_N$. 这与$a$是$S$的一个聚点矛盾. 因此, 集合$S$是闭集.

2. 充分性 设$S$是一个有界闭集, 但是不是紧的. 则存在$S$的一个开覆盖$\{G_\alpha\}_{\alpha \in A}$, 使得对于任意有限个开集$G_{\alpha_1}, G_{\alpha_2}, \cdots, G_{\alpha_m}$, 都有$S \not\subset G_{\alpha_1} \cup G_{\alpha_2} \cup \cdots \cup G_{\alpha_m}$.

我们现在使用一个递归的过程来构造一个数列$\{x_n\}$, 使得数列$\{x_n\}$没有收敛的子数列, 从而得到矛盾.

任何有界闭集都包含在一个闭矩形中, 因此, 存在一个闭矩形$\Delta_1$使得$S \subset \Delta_1$. 将$\Delta_1$平均分成四个闭矩形$\Delta_{11}, \Delta_{12}, \Delta_{13}, \Delta_{14}$, 则至少存在一个闭矩形$\Delta_{1i_1}$使得$S \cap \Delta_{1i_1}$不可以被有限个开集覆盖.

以此类推, 根据闭矩形套定理, 我们可以得到一个闭矩形套$\{\Delta_k\}$, 使得$\Delta_1 \supset \Delta_2 \supset \cdots \supset \Delta_k \supset \cdots$, 且满足:

$$\lim_{k\to\infty} \sqrt{(b_k - a_k)^2 + (d_k - c_k)^2} = 0$$

其中$\Delta_k = [a_k, b_k] \times [c_k, d_k]$. 根据闭矩形套定理, 存在唯一的点$(x_0, y_0)$使得$\bigcap_{k=1}^{\infty} \Delta_k = \{(x_0, y_0)\}$. 因此, 适当选取任意包含点$(x_0, y_0)$的无限有界开集, 都可以得到一个包含点$(x_0, y_0)$的开集$G_\alpha$, 使得$S \cap G_\alpha$不可以被有限个开集覆盖. 因此, 可以得到$S \subset G_\alpha \cup G_{\alpha_1} \cup G_{\alpha_2} \cup \cdots \cup G_{\alpha_m}$, 其中$G_{\alpha_1}, G_{\alpha_2}, \cdots, G_{\alpha_m}$是$S$的一个有限子覆盖. 这与之前的假设矛盾. 因此, 集合$S$是紧集.

有一个类似本定理的三个等价条件:

定理: 设$S$是$R^n$中的一个集合, 则下面三个条件是等价的:

• 集合$S$是一个紧集.
• 集合$S$是一个有界闭集.
• 集合$S$中的任意无限子集都在$S$中有一个聚点.

证明: 我们只需要证明(2) $\Leftrightarrow$ (3)

(2) $\Rightarrow$ (3): 设 $S$ 是一个有界闭集, 且 $A$ 是 $S$ 的任意一个无限子集. 由于 $S$ 是有界集, 显然 $A$ 也是有界集. 根据 Bolzano-Weierstrass 定理, 有界无限集 $A$ 必然至少存在一个聚点 $x_0$. 因为 $A \subset S$, 所以 $x_0$ 也是集合 $S$ 的聚点. 又因为 $S$ 是闭集, 它包含其所有的聚点, 故必然有 $x_0 \in S$. 这就证明了 $S$ 中的任意无限子集都在 $S$ 中有一个聚点.

(3) $\Rightarrow$ (2): 已知 $S$ 中的任意无限子集都在 $S$ 中有一个聚点, 我们需要证明 $S$ 既是有界集又是闭集.

• 证明有界性: 反证法. 假设 $S$ 是无界集, 则对于任意正整数 $n$, 都可以找到一点 $x_n \in S$ 使得 $\|x_n\| > n$. 由此构成的无穷序列集合 $A = \{x_1, x_2, \dots \}$ 是 $S$ 的一个无限子集. 由于 $A$ 中的点可以无限远离原点, $A$ 不可能存在任何有限处的聚点, 这与前提“$A$ 在 $S$ 中有聚点”矛盾. 故 $S$ 必须是有界的.
• 证明闭集性: 设 $x_0$ 是 $S$ 的任意一个聚点(如果 $S$ 没有聚点则自然为闭集). 根据聚点的定义, 我们可以在 $S$ 中找到一个由互不相同的点组成的收敛序列 $\{x_n\}$, 且该序列趋于 $x_0$. 将这些点收集得到集合 $B = \{x_n\}$, 它显然是 $S$ 的一个无限子集. 根据已知条件, $B$ 在 $S$ 中一定有一个聚点；而该点列是收敛的, 它唯一的聚点就是极限 $x_0$. 因此 $x_0 \in S$. 这说明 $S$ 包含了它所有的聚点, 因此 $S$ 是一个闭集.

多元函数

本部分开始, 我将给出多元函数的定义, 并介绍多元函数的极限与连续性.

定义: 设$D$是$R^n$中的一个集合, $D$到$R$的一个映射$f: D \to R$被称为一个多元函数. 其中$n$被称为函数的变量个数或者维数. 我们可以把多元函数写作:

$$f(x_1, x_2, \cdots, x_n), \quad z = f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$$

多元函数的极限

定义: 设函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$定义在$D$的某个邻域内, $x_0 = (x_{0,1}, x_{0,2}, \cdots, x_{0,n})$是$D$的一个内点. 如果对于任意$\epsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 使得对于所有$x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in D$且$0 < d(x, x_0) < \delta$, 都有$|f(x) - A| < \epsilon$, 则称函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在$x_0$处的极限为$A$, 记为:

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = A$$

多元函数的极限要求函数值从任何方向以任何方式趋近, 都必须趋近于同一个值. 这就要求函数在$x_0$附近的行为非常规律, 因此多元函数的极限是一个非常强的条件. 当然, 多元函数的极限也可以定义在无穷远处, 这里我们不再赘述.

对于多元函数的极限, 我们自然而然的希望可以把它拆成多个一元函数的极限来处理, 这就涉及到所谓累次极限的概念. 这里我们先介绍一下累次极限的定义:

我们讨论二元函数

定义(累次极限): 设$D$是$R^2$中的一个集合, $f(x,y)$是定义在$D$上的一个二元函数, $x_0$和$y_0$分别是集合$\{x : (x,y) \in D\}$和$\{y : (x,y) \in D\}$的内点. 如果对于任意$\epsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 使得对于所有$x \in \{x : (x,y) \in D\}$且$0 < |x - x_0| < \delta$, 都有$|\lim_{y\to y_0} f(x,y) - A| < \epsilon$, 则称函数$f(x,y)$在$x_0$处的累次极限为$A$, 记为:

$$\lim_{x\to x_0} \lim_{y\to y_0} f(x,y) = A$$

这也称作先对$y$再对$x$的累次极限. 同理, 如果对于任意$\epsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 使得对于所有$y \in \{y : (x,y) \in D\}$且$0 < |y - y_0| < \delta$, 都有$|\lim_{x\to x_0} f(x,y) - A| < \epsilon$, 则称函数$f(x,y)$在$y_0$处的累次极限为$A$, 记为:

$$\lim_{y\to y_0} \lim_{x\to x_0} f(x,y) = A$$

这也称作先对$x$再对$y$的累次极限.

但是二次极限和二重极限不一定同时存在且相等. 然而我们可以给出一组存在条件:

定理: 若二元函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$点存在二重极限

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = A$$

且当$x\neq x_0$时, 函数$f(x,y)$在$y_0$点存在极限

$$\lim_{y\to y_0} f(x,y) = g(x)$$

则二元函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$点的二重极限等于先对$y$再对$x$的累次极限, 即:

$$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = \lim_{x\to x_0} \lim_{y\to y_0} f(x,y)$$

证明: 只需要对下面这个表达式给出证明即可:

$$\lim_{x \to x_0} g(x) = A$$

设$\epsilon > 0$是任意的, 因为二重极限存在, 则存在$\delta_1 > 0$, 使得对于所有$(x,y) \in D$且$0 < d((x,y), (x_0,y_0)) < \delta_1$, 都有$|f(x,y) - A| < \epsilon$. 因此, 对于任意$x \in \{x : (x,y) \in D\}$且$0 < |x - x_0| < \delta_1$, 都有$|\lim_{y\to y_0} f(x,y) - A| < \epsilon$. 又因为当$x\neq x_0$时, 函数$f(x,y)$在$y_0$点存在极限, 则对于任意$x \in \{x : (x,y) \in D\}$且$0 < |x - x_0| < \delta_1$, 都有$|g(x) - A| < \epsilon$. 因此, 可以得到对于任意$x \in \{x : (x,y) \in D\}$且$0 < |x - x_0| < \delta_1$, 都有$|g(x) - A| < \epsilon$. 这就证明了$\lim_{x\to x_0} g(x) = A$. 至此, 完成证明.

多元函数的连续性

定义: 设函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$定义在$D$的某个邻域内, $x_0 = (x_{0,1}, x_{0,2}, \cdots, x_{0,n})$是$D$的一个内点. 如果函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在$x_0$处的极限存在且等于$f(x_0)$, 则称函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在$x_0$处连续. 换言之:

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$$

定理: 连续映射将紧集映射为紧集.

这个定理主要是针对向量值函数而言的, 我们可以给出如下的定义:

定义: 设$D$是$R^n$中的一个集合, $f: D \to R^m$是定义在$D$上的一个向量值函数, 其中$m$被称为函数的值的维数. 如果对于任意$\epsilon > 0$, 存在$\delta > 0$, 使得对于所有$x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \in D$且$0 < d(x, x_0) < \delta$, 都有$d(f(x), f(x_0)) < \epsilon$, 则称函数$f: D \to R^m$在$x_0$处连续.

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