Definite integrals and integrability

定积分和不定积分的起源不一样, 原理不一样, 思维不一样, 但是最后却通过Newton-Leibniz公式紧密结合在了一起. 注意本节仅讨论黎曼积分. 更广泛的积分比如反常积分我们将在后面介绍.

定积分的几何意义很明确, 就是求一个曲线$y=f(x)$和区间限$x=a$, $x=b$以及$x$轴本身围城的面积大小. 如果这个区域在x轴上方, 则定积分为正, 反之为负. 下面我们将基于这个朴素理解给出严格定义.

说到底定积分的严格定义本质上就是在细化什么情况下我们能确定积分值的大小, 什么时候不行. 我们可以先看两个例子, 对于函数$f(x)=x$在$[0,1]$上和x轴围成的面积大小, 这显然是可以确定的, 无论怎么求, 怎么处理, 我们都可以确定这个面积是$\frac{1}{2}$, 毫无疑问. 但是对于Dirichlet函数:

$$f(x) = \begin{cases} 1, x\in \mathbb{Q} \\ 0, x\notin \mathbb{Q}\\ \end{cases}$$

我们很明显难以确定其在$[0,1]$上和x轴围成的面积, 我们现在即将给出的定义就是要说明Dirichlet函数的这个面积是求不出来的. 下面我们具体说明.

定积分的定义和基本性质

定义: 设$f(x)$是定义在$[a,b]$上的有界函数, 在$[a,b]$上任意取分点$\{ x_i \}_{i=0}^n$形成一种划分:

$$P: a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$$

并在任意取点: $\xi_i \in [x_{i-1},x_i]$, 记小区间$[x_{i-1},x_i]的长度为\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$, 令$\lambda = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i$, 若当$\lambda \rightarrow 0$时, 极限:

$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i) \Delta x_i$$

存在, 且极限值既与划分$P$无关, 又与$\xi_i$的选取无关, 则称$f(x)$在$[a,b]$上黎曼可积.

$$S_n = \sum^{n}_{i=1} f(\xi_i) \Delta x_i$$

称为黎曼和, 其极限值$I$被称为$f(x)$在$[a,b]$上的定积分, 记作:

$$I = \lim_{n \to \infty} S_n = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

$a$和$b$被称为下限和上限. 在上面的定义中, 我们要求$a < b$, 但是我们规定:

$$\int_a^b g(x) dx = - \int_b^a g(x) dx$$

并且不难推知: $\int_a^a f(x)dx = 0$. 上述定义的几何意义是非常明确的, 但是作为定义, 其用在判定可积性上不具有可操作性, 所以我们必须引入新的判定方式.

定积分的可积条件

在本部分, 我们关心的是定积分的可积性, 而定积分的可积性本质上就是极限的存在性问题. 而在处理极限的存在性的问题的时候, 一个重要的定理就是夹逼定理:

设$y_n$是我们要判断敛散性的数列, 而且对于另外两个无穷数列$x_n$和$z_n$恒有: $x_n \le y_n \le z_n$, 那么$y_n$极限存在的一个条件就是:

$$\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty} z_n = Y$$

我们引入这个思想, 试着改变$\xi_i$的选取方式, 求出黎曼和在每个划分下的最大值和最小值(也就是我们后面要说的达布大和和达布小和), 然后证明$\lambda \to 0$的条件下最大值和最小值会相互无限逼近. 下面我们就是要用严谨的数学语言给出推导和证明:

回顾一下定义:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx =\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$$

极限过程和性质的关键在于 $\xi_i$ 取值的任意性. 因此, 我们考虑极端情况: 函数 $f(x)$ 在区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上的上确界和下确界, 分别记为 $M_i$ 和 $m_i$. 于是我们得到两个极限:

$$M = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}M_i \cdot \Delta x_i$$ $$m = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}m_i \cdot \Delta x_i$$

如果极限 $M$ 和 $m$ 都收敛且收敛于同一个值, 我们可以断言定积分存在, 因为:

$$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}m_i \cdot \Delta x_i = m \leq \int_{a}^{b} f(x) dx =\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i \leq M = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n}M_i \cdot \Delta x_i$$

通过这种方式, 我们可以用函数 $f(x)$ 的上确界和下确界代替 $\xi_i$ 的随机选择, 这比原始定义更具可操作性. 下面我们将给出上述思想的严谨表述及证明. 定义 (达布和, Darboux Sum)对于一个划分 $P$ 及其每一个子区间 $[x_{i-1},x_i]$, 我们做如下标记:

$$M_i = \sup\{f(x)|x \in [x_{i-1},x_i]\}, \quad m_i = \inf\{f(x)|x \in [x_{i-1},x_i]\}$$

显然它们与划分的选择有关. 选定划分 $P$ 后, 我们定义:

$$\overline{S}(P) = \sum_{i=1}^{n} M_i \cdot \Delta x_i , \quad \underline{S}(P) = \sum_{i=1}^{n} m_i \cdot \Delta x_i$$

其中 $\overline{S}(P)$ 称为 达布大和 (Darboux upper sum), $\underline{S}(P)$ 称为 达布小和 (Darboux lower sum). 显而易见:

$$\underline{S}(P) \leq \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \leq \overline{S}(P)$$

下一步是证明: 如果极限 $\lim_{\lambda \to 0} \overline{S}(P)$ 和 $\lim_{\lambda \to 0} \underline{S}(P)$ 存在且收敛于同一值, 则定积分存在. （其中 $\lambda = \max \{\Delta x_i\}$）引理在原有划分中增加分点形成新的划分；达布大和不会增加, 达布小和不会减少.

证明:

假设 $\overline{S}(P)$ 和 $\underline{S}(P)$ 对应于某个划分 $P$, 且 $P: \{x_i\}_{i=1}^n$. 当增加一个新的分点后, 我们得到一个新的划分 $P'$, 其达布大和与达布小和分别为 $\overline{S}(P')$ 和 $\underline{S}(P')$. 我们需要证明的是:

$$\overline{S}(P') \leq \overline{S}(P), \quad \underline{S}(P) \leq \underline{S}(P')$$

假设增加的点 $x'$ 落在区间 $(x_{i-1},x_i)$ 内, 我们记:

$$M_i = \sup \{f(x)|x \in (x_{i-1},x_i)\}, \quad M_i' = \sup \{f(x)|x \in (x_{i-1},x')\}, \quad M_i'' = \sup \{f(x)| x \in (x', x_i)\}$$

因为 $(x_{i-1},x') \subset (x_{i-1},x_i)$ 且 $(x', x_i) \subset (x_{i-1},x_i)$, 所以有:

$$M_i' \leq M_i, \quad M_i'' \leq M_i$$ $$M_i'(x'-x_{i-1}) + M_i''(x_i-x') \leq M_i(x_i - x_{i-1})$$

增加一个分点不会影响其他区间, 因此我们有 $\overline{S}(P') \leq \overline{S}(P)$. 同理可证 $\underline{S}(P) \leq \underline{S}(P')$. 由此我们可以推导出 $m(b-a) \leq \underline{S}(P_2) \leq \overline{S}(P_1) \leq M(b-a)$. 根据单调有界收敛定理, 我们可以断言极限 $\lim_{\lambda \to 0} \overline{S}(P)$ 和 $\lim_{\lambda \to 0} \underline{S}(P)$ 存在. 记:

$$\lim_{\lambda \to 0} \overline{S}(P)=L, \quad \lim_{\lambda \to 0} \underline{S}(P)=l$$

现在我们要证明对于所有有界函数 $f(x)$, $L = \inf \{\overline{S}(P)|\overline{S}(P) \in \overline{\textbf{S}}\}$ 和 $l = \sup \{\underline{S}(P)|\underline{S}(P) \in \underline{\textbf{S}}\}$ 成立.

引理 (达布定理, Darboux Theorem):

$$\lim_{\lambda \to 0} \overline{S}(P) = \inf \{\overline{S}(P)|\overline{S}(P) \in \overline{\textbf{S}}\}$$ $$\lim_{\lambda \to 0} \underline{S}(P) = \sup \{\underline{S}(P)|\underline{S}(P) \in \underline{\textbf{S}}\}$$

证明: 我们要给出达布大和的证明. 达布小和的情况类似. 基本思想是使用 $\epsilon - \delta$ 语言, 选取一个满足极限条件的达布大和, 并证明 $\forall P, \lambda = \max_{1 \leq i \leq n} (\Delta x_i) < \delta$, 都有 $0 \leq \overline{S}(P)-L < \epsilon$. 假设我们有一个划分 $P'$ 满足 $0 \leq \overline{S}(P') - L < \frac{\epsilon}{2}$. 且:

$$P' : a = x_0' <x_1' < x_2' < \cdots < x_p' = b$$

我们要选取 $\delta = \min \{\Delta x_1', \Delta x_2', \cdots , \Delta x_p', \frac{\epsilon}{2(p-1)(M-m)}\}$. 现在假设我们有另一个划分 $P$ 满足 $\lambda = \max_{1 \leq i \leq n} (\Delta x_i) < \delta$:

$$P: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots <x_n = b$$

其达布大和为 $\overline{S}(P)$. 我们将 $P' = \{x_j'\}^p_{j=0}$ 插入到 $P = \{x_i\}^n_{i=0}$ 中形成一个新的划分 $P*$. 同样, 记其达布大和为 $\overline{S}(P*)$. 根据前面的引理, 我们有:

$$\overline{S}(P*)-\overline{S}(P') \leq 0$$

对于所有区间 $(x_{i-1},x_i)$, 至多有 $p-1$ 个区间被插入了分点. 对于其他区间, 没有任何变化. 对于被插入分点的区间, 利用证明中用过的符号, 我们有:

$$M_i(x_i-x_{i-1})-[M_i'(x_j'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_j')] \leq (M-m) (x_i-x_{i-1}) < (M-m) \delta$$

所以现在我们有:

$$0 \leq \overline{S}(P)-\overline{S}(P*)<(p-1)(M-m)\delta \leq \frac{\epsilon}{2}$$

综上所述, 我们得出结论:

$$0 \leq \overline{S}(P)-L = [\overline{S}(P)-\overline{S}(P*)]+[\overline{S}(P*)-\overline{S}(P')]+[\overline{S}(P')-L]<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

现在我们得到了可积的充要条件. 定理区间 $[a,b]$ 上的有界函数 $f(x)$ 可积的充要条件是: 对于任意划分 $P$, 当 $\lambda = \max_{1 \leq i \leq n} \Delta x_i \to 0$ 时, 有:

$$\lim_{\lambda \to 0} \overline{S}(P) = L = l = \lim_{\lambda \to 0} \underline{S}(P)$$

证明: 现在我们完成定理的证明. 设 $f$ 为 $[a,b]$ 上的有界函数, 定义:

$$L = \lim_{\lambda \to 0} \overline{S}(P), \quad l = \lim_{\lambda \to 0} \underline{S}(P)$$

由达布定理可知:

$$L = \inf \left\{ \overline{S}(P) \right\}, \quad l = \sup \left\{ \underline{S}(P) \right\}.$$

必要性: 如果 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积, 则存在一个数 $I$, 使得对于任意 $\epsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得对于任何 $\lambda < \delta$ 的划分 $P$ 以及任意选取的样点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$, 都有:

$$\left| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i - I \right| < \epsilon.$$

特别地, 对于任意这样的划分 $P$, 我们可以选择样点使得 $f(\xi_i)$ 任意接近 $M_i$, 从而得到:

$$\left| \overline{S}(P) - I \right| \leq \epsilon.$$

同理, 通过选择点使得 $f(\xi_i)$ 任意接近 $m_i$, 我们得到:

$$\left| \underline{S}(P) - I \right| \leq \epsilon.$$

因此, 当 $\lambda \to 0$ 时, 我们有:

$$\overline{S}(P) \to I \quad \underline{S}(P) \to I$$

这意味着 $L = l = I$. 充分性: 反之, 假设 $L = l = I$. 那么对于任意 $\epsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得对于任何 $\lambda < \delta$ 的划分 $P$, 有:

$$\left| \overline{S}(P) - I \right| < \epsilon \quad \text{且} \quad \left| \underline{S}(P) - I \right| < \epsilon.$$

对于对应于 $P$ 的任意黎曼和 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$, 我们有:

$$\underline{S}(P) \leq \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \leq \overline{S}(P).$$

因此,

$$I - \epsilon < \underline{S}(P) \leq \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \leq \overline{S}(P) < I + \epsilon,$$

这意味着:

$$\left| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i - I \right| < \epsilon.$$

因此, $f$ 在 $[a,b]$ 上可积且积分为 $I$. 证明完毕. 从上述定理中, 我们可以推导出一个涉及函数振幅 (oscillation) 的更实用的判别法. 定义子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上的振幅为 $\omega_i = M_i - m_i$. 条件 $L=l$ 等价于:

$$\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i = 0$$

这个判别法依旧在说明可积性上依旧是充分必要的.

总体来说, 我们现在有三类判别法:

1. 定义判别法: 常用于否定可积性.
2. 达布和判别法: 常用于肯定可积性.
3. 振幅判别法: 肯定和否定可积性均可使用.

下面展示一些推论:

推论: 闭区间上的连续函数必可积.

证明:

由于闭区间上的连续函数必然一直连续, 那么存在$\delta>0$, 对任意$x', x'' \in [a,b]$, 只要$|x'-x''|<\delta$, 必有$|f(x')-f(x'')| < \frac{\epsilon}{b-a}$.

所以对于划分$P$, 倘若$\lambda < \delta$, 必有$\omega_i < \frac{\epsilon}{b-a}$.

所以$\sum_{i=1}^{n} \omega_i\Delta x_i < \epsilon$.

推论: 闭区间上的单调函数必可积.

证明:
类似上面的证法, 只是需要取$\delta = \frac{\epsilon}{f(b)-f(a)} >0$, 假设$f(x)$单增的话. 后面推导一致. 这里省略不谈.

推论: 闭区间上仅有有限个不连续点的有界函数必可积.

我们给出这个定理的详细证明.

证明:

记$f(x)$在定义域上的不连续点有$k$个, 记为$a \le p_1' < \cdots < p_k' \le b$, 不妨设不连续点都在区间内. $M$和$m$为函数在全定义域上的上确界和下确界.

对$\forall \epsilon >0$, 取$\delta = \min \{\frac{p_1'-a}{2},\frac{b-p_k'}{2},\frac{d}{3},\frac{\epsilon}{4k(M-m)}\}$

说明: 这里$\delta$的取法兼顾几个要素, 后面我们会划分出一些连续区段, 我们要保证这些连续区段既不能超出定义域, 也不能相互交叉, 还得有利于后面判定敛散性.

我们遍历每个不连续点, 先以$p_j'$的$\delta$领域的两个端点$p_j'-\delta,p_j'+\delta$为一个划分点, 将$[a,b]$(定义域)划分为$2k+1$个区段, 所以f(x)在$D^{(1)} = [a, p'_1-\delta]$, $D^{(k+1)} = [p_k'+\delta,b]$, $D^{(t)} = [p_{j-1}'+\delta , p_j'-\delta]$上连续($k+1$个连续区间), 我们在上面取分点, 使得:

$$\sum_{i=1}^{l_j} \omega_i^{j} \Delta x_i^{j} < \frac{\epsilon}{2(k+1)}$$

然后将所有小区间的分点合在一块看作是$[a,b]$上的一个分点.

我们考虑函数在全定义域上的划分情况, 我们可以看到连续区段对于表达式$\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i$的”贡献”不大于$(k+1) \cdot \frac{\epsilon}{2(k+1)}$, 而不连续区间的个数为$k$, 每个区间的长度满足$\text{lenth} = 2\delta < \frac{2\epsilon}{4k(M-m)}$, 每个区间的振幅一定小于函数的振幅. 所以我们有:

$$\sum_{i=1}^{l_j} \omega_i^{j} \Delta x_i^{j} < \frac{\epsilon}{2(k+1)} + \frac{2\epsilon}{4k(M-m)} \cdot k(M-m) = \epsilon$$

到这里便完成了证明. 可以发现在证明函数可积性的时候关键在$\delta$的选取.